Capitolo 7 ) Determinazione della ‘risposta’ di
un blocco
Come si è visto, per ricavare l’andamento di un segnale y(t) in uscita da un blocco occorre conoscere, oltre al segnale x(t) d’ingresso, anche la funzione di trasferimento del blocco stesso.
Per esemplificare il metodo di determinazione di tale funzione, esamineremo il caso di uno dei più semplici ma anche dei più fondamentali tipi di blocco: il circuito costituito da una resistenza R e da un condensatore C , rappresentato in Fig. 7.1, e noto appunto come circuito RC.
Fig. 7.1 -
Circuito RC come esempio di blocco di trasferimento
Dall’elettrotecnica si sa che il condensatore C funge da integratore della corrente iC che lo attraversa, cioè che la tensione ai suoi capi è
o, scritta in forma differenziale, i C = C · dvc / dt
Inoltre se v è la tensione applicata all’ingresso del circuito si ha v = vR + vC dove vR e vC sono le tensioni rispettivamente ai capi della resistenza R e del condensatore C.
Per la legge di Ohm è vR = R · iR , quindi iR = vR/R è la corrente che attraversa R.
Supponendo che non vi sia prelievo di corrente in uscita, cioè che iC = iR , si potrà in definitiva scrivere l’equazione che governa il circuito nella forma
Si osservi che tale equazione vale per qualsiasi istante t considerato, quindi per qualsiasi andamento di v nel tempo, che può essere indicato come segnale d’ingresso x(t).
Ovviamente vC è il corrispondente valore nello stesso istante considerato, ed è quindi possibile indicarne l’andamento nel tempo come segnale y(t) d’uscita.
Come si vede, la relazione H che lega y(t) a x(t) è un’equazione differenziale del primo ordine, risolvibile matematicamente solo in particolari casi di segnali x(t).
Fra i più noti metodi di soluzione sono da prendere in considerazione le trasformazioni di Laplace, che consentono di elaborare algebricamente le equazioni fino a ricavarne forme di cui sono già note le soluzioni.
Senza entrare nella teoria matematica delle trasformazioni di Laplace (che sono un’estensione di quelle di Fourier [1]) ) è possibile operare in pratica sostituendo all’operazione di derivazione l’operatore complesso s e considerare al posto di v e vC le trasformate X(s) e Y(s) (vedi tabella).
L’equazione del circuito RC diventa così (X(s)-Y(s)) / R = C · Y(s) · s da cui
Y(s) 1
H(s) = =
X(s) 1 + R·C·s
Tabella di trasformazioni di Laplace
Stabilendo la trasformata X(s) corrispondente alla funzione x(t) che si vuole considerare, è così possibile calcolare la Y(s) da cui poi ricavare la relativa y(t).
Dalla tabella di conversione fra funzioni del tempo e funzioni di Laplace si può rilevare che se la x(t) è ad esempio un impulso di area unitaria e di ampiezza infinita (cioè la funzione d ) allora X(s) = 1 (analogamente a. quanto visto a pag. 27). Ciò comporta che Y(s) = H(s) , cioè la trasformata di Laplace del segnale d’uscita risulta uguale alla funzione di trasferimento.
La y(t) sarà dunque l’antitrasformata di questa, che nel caso del circuito RC in esame è, come si è visto, H(s) = 1 / (1+R·C·s).
Dalla tabella si ha che l’antitrasformata di 1/ (s+a) è e - a t , perciò se si pone T = R·C [2]) , con a = 1/T si ottiene:
y(t) = (1/T) · e - t /T
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Fig. 7.2 - Risposta del circuito RC all’impulso unitario di ampiezza infinita (in realtà il grafico rappresenta un impulso finito, di ampiezza =100) . La costante di tempo è T=20
Considerando un secondo caso di x(t) questa volta con andamento a gradino unitario anzichè ad impulso, si ha X(s) = 1/s.
La nuova Y(s) è allora (1/s) · ( 1 / (1+T·s)) che può essere scomposta nella somma di termini 1/s - 1 / ( s + 1/T).
Antitrasformando ciascun termine si ha y(t) = 1 - e -t/T , cioè un esponenziale che tende a 1 [3]).
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Fig. 7.3 - Risposta del circuito RC al gradino unitario.
Considerando infine il caso di segnale sinusoidale, x(t) = V · sen (wt), si ha la trasformata X(s) =V · w / (s2 + w2).
Quindi Y(s) = V · w / [(s2 + w2) · (1+T·s)] . Anche in questo caso è possibile ricondurre l’espressione ad una somma di termini del tipo
K1 · s / (s2 +
w2) K2 / (s2
+ w2) K3 / (s+a)
Ricavando algebricamente K1, K2 e K3 , si può scrivere
Y(s) = [ V /
(1+ T2·w2)]·[-T·w·s/(s2+w2)+ ·w/(s2+w2)+T2·w/(1+T·s)]
da cui antitrasformando si ottiene
y(t) = [ V / (1+ T2·w2)]·[-T·w·cos(wt) + sen(wt) + T·w·e-t/T]
Al termine del transitorio ( teoricamente all’infinito, ma in pratica quando e-t/T diventa trascurabile) rimangono i termini in seno e coseno, esprimibili, per quanto già noto, nell’equivalente forma vettoriale:
M
y(t) = M · sen (wt +q) -V·T·w
1+T2·w2
dove
q
e q = arctan (-T·w)
V/(1+T2·w2)
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Fig. 7.4 - Risposta del circuito RC ad un segnale sinusoidale. [commento audio]
Quest’ultimo caso è particolarmente importante perchè rappresenta il modo in cui il blocco modifica i segnali sinusoidali in funzione della loro frequenza.
Si è cioè determinata la funzione H(f) necessaria per l’applicazione delle trasformazioni di Fourier al circuito RC.
La funzione di trasferimento H(f) può essere rappresentata come uno spettro (infatti come si è visto costituisce Y(f) quando x(t) è la funzione d), ma è più tradizionalmente rappresentata in altre forme, quali il diagramma di Nyquist e i diagrammi di Bode.
Il diagramma di Nyquist non è altro che la rappresentazione nel piano complesso del vettore corrispondente a ciascuna frequenza.
La Fig. 7.5 riporta tale diagramma per il circuito RC (l’asse verticale è immaginario, mentre quello orizzontale è reale).
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Fig. 7.5 - Diagramma di Nyquist per il circuito RC. [commento audio]
I diagrammi di Bode rappresentano invece la stessa funzione separando in due distinti diagrammi il modulo e la fase, in scale semilogaritmiche.
In particolare il modulo è espresso in decibel (dB), un’unità di misura che è 20 volte il logaritmo decimale del rapporto del segnale d’uscita rispetto a quello d’ingresso di un blocco.
Nel caso in esame si suppone unitario il modulo del segnale d’ingresso, quindi si ha 20 · log(M).
L’asse delle frequenze (spesso espressa in rad/sec, cioè w, anzichè in Hz) è logaritmica, quindi consente la rappresentazione di un più ampio campo di valori.
L’uso dei logaritmi consente inoltre immediate operazioni grafiche di semplice somma di valori, anzichè prodotti, con percezione più immediata dei risultati.
La Fig. 7.6 riporta i diagrammi di Bode nel caso di circuito RC , consentendo di rilevare il grado di attenuazione che tale circuito comporta a frequenze elevate.
Si può infatti considerare il circuito RC come il più semplice filtro passa basso, che ha attenuazione zero (0 dB, quindi rapporto = 1 fra segnale sinusoidale d’uscita rispetto a quello d’ingresso) per valori di w < 1/T (indicando con T la costante di tempo del circuito, data dal prodotto R·C) e attenuazioni crescenti per w > 1/T.
Nel caso delle Fig. 7.6 la costante di tempo è T = 20 sec, e la corrispondente frequenza (chiamata frequenza di taglio) è f = 1/(T·2p) @ 0.008 Hz.
Nei diagrammi logaritmici questa crescita è approssimativamente lineare e può essere espressa in dB per decade, cioè di quanti dB (nel nostro caso 20) aumenta l’attenuazione passando da una certa frequenza allo stesso valore di frequenza moltiplicato per dieci.
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Fig. 7.6 - Diagrammi di Bode per il circuito RC. [commento audio]