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G. Schgör (Genn. 2008)

Applicazioni delle differenze finite.=

Premessa

Il corso “Analisi matematica attraverso esercizi” recentemente inserito nel sito di Electroportal, illustra molto bene e con appropriati esempi, ciò che sull’argomento viene insegnato nelle scuole italiane e, naturalmente,= non fa alcun cenno alle possibilità offerte dall’impiego di calcolatori elettronici per superare le difficoltà che normalmente s= i incontrano nella pratica applicazione della matematica ai reali problemi industriali.<= /p>

E’ questo uno degli argomenti che da tempo cerco di proporre (finora senza successo) agli stude= nti desiderosi non solo di superare gli esami, ma anche di formarsi una base di conoscenza delle tecniche di calcolo fondamentali per l’impiego dei calcolatori nella progettazio= ne (Computer Aided Design).

D’altra parte, da un’indagine svolta in Internet, mi rendo conto che mancano pubblicazi= oni adatte ad

illustrare elementarmente= questi principi, di per sé semplici e che risalgono alle origini del calcolo infinitesimale. Le basi del calcolo numerico furono infatti trattate da Newton, Eulero, Boole e molti altri negli ultimi secoli in modo puramente speculativo, ed applicate in pratica = solo da pochi decenni, dopo l’avvento del calcolatore elettronico che perm= ette il rapido svolgimento della miriade di calcoli necessari alla loro implementazione.

Scopo di questo articolo = e’ dunque un’introduzione al me= todo delle differenze finite, esemplificandone l’applicazione ai casi principali, in alternativa alle soluzioni “simboliche” dell’analisi matematica.

Segnalo che gli esempi qui forniti si basano sull’impiego di MathCad, ma che possono essere svol= ti in qualsiasi software matematico in grado di elaborare variabili indicizzat= e.

Il concetto delle differenze finite

Nell’analisi matematica il concetto di derivata = viene introdotto come limite della differenza fra due punti della funzione, divisa per il loro intervallo, quando questo tende a zero:

Data infatti una qualsiasi funzione di x, calcolata in un punto (x₀) ed in secondo punto (x= ₀ + l’intervallo h), è possibile ricavare la pendenza della retta che passa per i due punti. E’ chiaro che se h tende a 0, i due punti tendono a coincidere e la retta a diventare la tangente della funzione stes= sa nel punto x₀.

E’ quindi questo “passaggio al limite” l’essenza del calcolo infinitesimal= e, così fecondo per tutti gli sviluppi che ne sono seguiti.

Ma se ci fermiamo un mome= nto prima dello zero, cioè diamo ad h un valore piccolo ma finito, diciamo Dx, e sostituiamo y ad f(x), potremo applicare lo stesso criterio:

_<=
/o:p>

= = &nb= sp; =

Cioè la derivata prima di y nel punto di ascissa x_=
0, è approssimativamente u= guale alla differenza dei due valori di y, divisa per Dx (e sarà più approssimato, più = Dx tende a zero).

Questo implica tuttavia l= a necessità di calcolare con grande precisione i valori di y, la cui differenza diventa= ovviamente evanescente al diminuire di Dx.

Per i moderni mezzi ci ca= lcolo, questo non è però un problema: anche il più modesto PC offre precisioni tali da soddisfare le normali esigenze pratiche. Diventano così superflui i vari metodi più o meno elaborati che sono ci= tati nella letteratura matematica per aumentare la precisione di calcolo.

Derivata in un punto

Per passare subito alla più semplice applicazione del metodo visto, possiamo applicarlo al calcolo della derivata prima in un punto dato di una funzione.

Scegliamo per semplicit&a= grave; una parabola e valutiamone la pendenza nel punto x=3D1:

La fig. mostra la procedura classica, ricavando prima la derivata della funzione (y’=3D -4x² +5) e ponendo in questa x=3D1.

Ed ecco la soluzione con le differenze finite:

Un primo calcolo, con Dx =3D 1/1000, dà un risultato approssimato al 2 per 1000, il secondo dà addirittura il risultato esatto (dy sta per y’ e naturalmente ya &egr= ave; l’ordinata della funzione per x=3D1, mentre yb è quella per x= =3D 1+Dx ).

Non credo ci sia bisogno = di altri commenti su questo esempio, salvo sottolineare che se per una parabola il metodo può apparire del tutto inutile (data la semplicità del= la soluzione convenzionale), non così sarebbe se la funzione fosse non immediatamente derivabile.

La procedura alle differe= nze finite rimane infatti così semplice anche se le funzioni trattate so= no estremamente complesse.

Grafico della derivata di una funzione

Applicando la procedura v= ista si può ottenere direttamente l’andamento in forma grafica della derivata prima di una funzione data.

Si tratta di utilizzare v= ariabili indicizzate (variabili con indice in apice) che consentono di accumulare se= rie di valori che le esprimono

Con N si fissa il numero = di punti dell’indice n e con Dx l’intervallo di “campionamento” della funzione.

In questo modo si pu&ogra= ve; far variare la variabile x fra due limiti stabiliti (in questo caso da -5 a +5).

Si calcolano poi i valori= di y corrispondenti alla funzione data (in questo caso una cubica), che pu&ograv= e; essere tradotta in grafico (linea blu).

Per ottenere l’anda= mento della derivata, si applica la forma delle differenze finite (con l’un= ica avvertenza di considerare il punto attuale e quello precedente), ottenendo = la funzione dy (cioè y’, linea rossa).

Anche in questo caso non = ritengo si debba sottolineare che sono immediatamente rilevabili massimo, minimo e flesso, semplicemente osservando i grafici (e nelle applicazioni pratiche, questo significa un’immediatezza nel rilievo dei risultati).

E’ poi ovvia l’estensione del metodo alle derivate di ordine superiore: se al post= o di y si utilizzano i campionamento di dy si ottiene l’andamento della derivata seconda (y’’), e così via

Calcolo di aree

Il campionamento delle fu= nzioni permette anche l’applicazione al calcolo di integrali definiti, geometricamente rappresentanti aree racchiuse da queste.

Come esempio si veda il corso citato (esercizio n.3):

L’integrazione dell’area (A) racchiusa fra le due parabole y1 ed y2, fra i limiti 0 e 8/3 (che rappresentano le ascisse di intersezione) avviene semplicemente “sommando” le ordinate moltiplicate per Dx. Questo rappresenta infatti la somm= a di 10000 (N) rettangoli di altez= za y e larghezza Dx per entrambe le parabole.

Come si può vedere= il risultato è esatto alla terza cifra decimale rispetto al calcolo dell’integrale ricavato nell’esempio del corso.

Soluzioni grafiche di equazioni differenziali

L’applicazione forse più interessante delle differenza finite è quella della soluzione delle equazioni differenziali.<= /o:p>

Supponiamo infatti di conoscere la funzione della derivata prima (dy)= e di voler ricavare da questa l’andamento grafico della funzione origin= ale (y): con un riarrangiamento algebrico dell’espressione delle differen= ze finite si ottiene immediatamente la serie dei valori di y.

Se infatti =

= dy_n =3D (y_n - y_{n -1})/Dx si ha: y_{n =3D
y_{n -1} +}Dx* dy_n

Vediamone subito un esempio, in cui x è sostituito dal tempo (= t) (e quindi Dx da DT).

La funzione derivata è una parabola, quindi la funzione origin= ale è una cubica, osservata nell’intervallo 0-10 (N*DT), con 10000 (N) campionamenti, distan= ziati di 1/1000 (DT).

Si osservi che si è dovuto fissare l’origine (y_{0=3D0,
cioè la costante di integrazione) e che il confronto fra i valori de=
lla
funzione calcolata dopo 10000 iterazioni e quella “esatta”
dall’integrale, differiscono solo dell’1.5 per mille.}

Possiamo quindi affrontare esempi più significativi, quale que= llo trattato in questo articolo (vedi:

“esempio di equazione differenziale”, con svolgimento simbolico).

<= o:p>

L= ’equivalente soluzione numerica è rip= ortata nella figura seguente, in cui si può notare la “coincidenza= 221; dei grafici ottenuti dalla procedura numerica (in rosso) e da quella simbol= ica (a punti blu). Si osservi che per aggirare la condizione iniziale di x=3D0 = (che al denominatore porterebbe ad un valore infinito), si è posto x =3D = ad 1 miliardesimo.

<= !--[if gte vml 1]>

Come si vede, la procedura è rimasta elementare anche in prese= nza di un’equazione tutt’altro che semplice da risolvere.

Calcoli dei circuiti elettronici

Chiudo questa breve panoramica di applicazioni con un cenno alle possibilità offerte da questo metodo nei calcoli che illustrano i comportamenti di circuiti elettronici.

Nella maggioranza dei casi, questi comportamenti sono determinati da equazioni differenziali difficilmente risolvibili con la matematica classic= a.

Anche l’applicazione delle trasformate di Laplace, non sempre conduce a risultati pratici e comunque presenta, se non nei casi più elementari, notevoli complicazioni.

La pratica più diffusa è oggi quella della simulazione = con software dedicati ormai talmente perfezionati da rendere obsoleti i vari me= zzi di elaborazione fin qui utilizzati.

Metteremo quindi qui a confronto una simulazione eseguita con Micro-C= ap 9 di un circuito con induttanza, resistenza e capacità, alimentato in = onda quadra, con una procedura di soluzione alle differenze finite di un sistema= di equazioni differenziali che definiscono appunto il comportamento di questo circuito.

Iniziamo dalla simulazione:

V1 è un generatore di onda quadra a 10V, con periodo di 100ms,= e si vuole conoscere la tensione di uscita V2, dati i valori dei 3 componenti= .

Micro-Cap è già così in grado di tracciare sia V1 (traccia blu), sia il risultato cercato V2 (traccia rossa), mostrando l’andamento oscillatorio dovuto agli effetti di L e C.

L’approccio di calcolo, pur con l’impiego delle differenze finite, è naturalmente più complicato.

Chiamando il la corrente che percorre l’induttanza, i= c quella che percorre la capacità, ed ovviamente V1 e V2= le tensioni ai rispettivi punti, possiamo scrivere:

Che possono facilmente essere ricondotte nella forma di differenze fi= nite (l’equazione contenente l’integrale e’ stata derivata per questo).

Occorre però osservare che le 3 equazioni, per essere calcolat= e simultaneamente, devono essere scritte in forma di matrice. Ecco l’implementazione in MathCad, con i necessari chiarimenti.

N è il numero di campionamenti, ed n l’indice di questi. L’espressione di V1 tiene conto della possibilità di espandere= il grafico a più onde quadre (struttura ricorsiva).

Vengono poi impostati i valori di R,L,C, tenendo conto delle loro unità di misura.

Tutti gli altri parametri del calcolo vengono poi inizializzati, e vi= ene preparata la scale dei tempi (in ms): 10000 (N) campionamenti per 10us (DT) corrisp= onde infatti a 100ms.

Solo alla fine viene scritta la matrice che riproduce il sistema di equazioni differenziali

Non resta ora che rappresentare in grafico il risultato del calcolo d= i V2 (insieme all’andamento della tensione di ingresso V1):

Che dimostrano la perfetta corrispondenza con il grafico ottenuto con Micro-Cap.